Grupo Nº 9. La distribución hipergeométrica

Sección: N3

Marilexys Febres V-20.504.270
Mayerlin Jaimes V-16.628.081
Rosimar Tabare V- 20.223.381

La distribución hipergeométrica

Es una de las distribuciones de probabilidad discreta, que se utiliza para calcular la probabilidad de una selección aleatoria de un objeto sin repetición. Aquí, el tamaño de la población es el número total de objetos en el experimento.

En el caso de la distribución Hipergeométrica, a diferencia de la distribución Binomial, los elementos se extraen simultáneamente, o si es uno a uno, sin devolverlos antes de realizar la siguiente extracción, de forma que un elemento no puede aparecer dos veces en una muestra. A esta manera de obtener la muestra se le llama muestreo sin reemplazo.

De esta forma, la probabilidad del segundo elemento depende o estácondicionada al elemento que se haya sacado en la primera extracción o sea que existe dependencia. Este concepto también se aplica en la extracción del tercero, cuarto y demás elementos, dependiendo del tamaño de la muestra, donde la probabilidad depende de los elementos obtenidos en las extracciones anteriores. Obsérvese que el muestreo sin reemplazo origina la dependencia probabilística, a diferencia del modelo binomial que no la tiene.

Suponga que una cierta población de tamaño N, contiene m elementos que poseen determinado atributo o característica. Suponga también que de esta población se desea extraer sin reposición  una muestra de n elementos y estamos interesados en saber el número de elementos en la muestra que poseen dicho atributo o característica. Si definimos a X como el número de elementos con dicho atributo, la probabilidad de obtener éxito (que posea dicho atributo) en la primera será m/N, la probabilidad de que el segundo también sea éxito será (m-1)/(N-1) y de que lo sea sabiendo que el primero no lo fue, será m/(N-1).

Si ahora se elige una muestra de tamaño n la variable X así definida tendrá Distribución Hipergeométrica con parámetros N, m, n; es decir H(N, m, n) cuya función de probabilidad viene dada por

 Observaciones:

1. Para que una variable aleatoria como X tenga distribución Hipergeométrica el experimento debe realizarse sin reposición o sin reemplazamiento.
2. El valor esperado de X es
   
3. La varianza de X es
   

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a)      Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

c)      Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

d)      El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?

Solución:

a) N = 9  total de estudiantes

a = 4 estudiantes menores de edad

n = 5 identificaciones seleccionadas

x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad

x = 0, 1, 2,  3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

                          

    b) N = 9 total de estudiantes

    a = 4 estudiantes menores de edad

    n = 5 identificaciones seleccionadas

    x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad

    x = 0, 1, 2,  3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

      

                  Pregunta:

En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de 12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?