TEOREMA LIMITE CENTRAL
El teorema del límite central es posiblemente el concepto más importante de la estadística, su resultado se extiende a la estimación de los intervalos de confianza, contraste de hipótesis y el cálculo del tamaño de muestra, previo a la realización de un estudio.
De acuerdo con el teorema, si tomamos muestras grandes de una población, las medias de las muestras se distribuirían de manera Normal también denominada distribución Gaussiana, a pesar de que los datos originales no tuvieran distribución normal. Este teorema nos permitirá simplificar el cálculo del intervalo de confianza.
Para tener información precisa sobre la distribución de la población debemos tener muestras grandes.
En algunas aplicaciones podemos obtener muestras pequeñas, al elegirla la muestra, la media de ellas será el punto muestral mostrando una estimación de la media, al elegir otra muestra la estimación cambiara y así sucesivamente realizando un gran numero de muestras. La media de cada muestra es variable aleatoria, este recibe el nombre de estimador de la media, por ser variable aleatoria debe tener una distribución normal. Por lo que al considerar muestras grandes disminuye la variabilidad.
En muchas ocasiones no importa la distribución de los datos de una población, ya que el proceso de elegir una muestra aleatoria y calcular su media desemboca de forma inevitable en una distribución normal, esto es lo que afirma el teorema del límite central. Además de que la media de esta distribución es la misma que la de la población.
El teorema hace hincapié en el error típico o estándar, ya que esta también depende del tamaño de la muestra, y por lo tanto nos permite conocer nuestro intervalo de confianza, mientras más grande sea la muestra de la población nuestro error será mínimo y nuestra confianza aumentara.
El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.
Ejemplo:
La variable "tirar una moneda al aire" sigue la
distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de
estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una
distribución normal.
Este
teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables
continuas.
Los
parámetros de la distribución normal son:
Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de
variables independientes)
Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de
variables individuales)
Veamos un ejemplo:
Se lanza
una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz
el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye
según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25.
Calcular
la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.
La
variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto,
según una distribución normal.
Media = 100 * 0,5 = 50
Varianza = 100 * 0,25 = 25
Para ver
la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal
tipificada equivalente:
Z = 60 - 50 = 2,00
5
(*) 5 es
la raiz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución
Por lo
tanto:
P (X > 60) = P (Z > 2,0) = 1- P (Z < 2,0) = 1 - 0,9772 =
0,0228
Es decir,
la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60 caras es
tan sólo del 2,28%
EJERCICIO PROPUESTO.
En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del año tienes 100 clases de esa asignatura.
Salir a la pizarra es una variable independiente que sigue el modelo de distribución de Bernouilli:
"Salir a la pizarra", le damos el valor 1 y tiene una probabilidad del 0,10
"No salir a la pizarra", le damos el valor 0 y tiene una probabilidad del 0,9
La media y la varianza de cada variable independientes es:
m = 0,10
s 2 = 0,10 * 0,90 = 0,09
¿Cuál es la probabilidad de que en esas 100 clases, tengamos que salir a la pizarra
más de 15 veces?
INTERROGANTE.
- Según el teorema del limite central, ¿Con que fin, tomamos muestras grandes para su calculo?
GRUPO # 7
- OLEAGA, ELIDES.
- VALDERRAMA, GENESIS.
- AGUILERA, ROSSIBEL.
Tomamos muestras grandes para simplificar los valores de una poblacion q tenga N datos(infinitos, cantidades numerosas) permitiendonos obtener una distribucion normal de dicha poblacion, dandoles valores estandar q van segun la grafica de gauss desde - 0,50 hasta 1 y desde 1 hasta 0,50, obtendremos una probabilidad con margen de error minimo y mucho mas confiable.
ResponderEliminarPara reducir y simplificar los valores de una gran población para conseguir valores estandarizados y obtener un mínimo margen de error
ResponderEliminarexacto.... lo mas importante es obtener un margen de error minino... Como dije anteriormente obtener resultados confiable o q nos proporcionen confianza.... y el ejercicio? no te animas a resolverlo?
ResponderEliminarMarialdis lopez: con el fin de simplificar los valores de una poblacion grande y así obtener margenes de errores minimo
ResponderEliminarEl teorema de limite central basicamente es propuesto para encontrar valores en lo cual se obtenga un margen de error minimo muchas veces se puede encontrar dos valores dentro del mismo rango y se procede a promediar dichos valores aplicando teorema de limite central
ResponderEliminarcon el fin de de simplificar los valores de una población para obtener los resultados del mismo rango este a su vez nos permitirá simplificar el cálculo del intervalo de confianza.
ResponderEliminarLo hacemos con la finalidad de simplificar el calculo de un intervalo
ResponderEliminarde manera confiable.
Ademas que para saber exacto la distribucion de una poblacion se debe
tomar obligatoriamente muestras grandes con el proposito de obtener
una probabilidad con un error de margen minimo