TEOREMA DE LOS GRANDES NUMEROS GRUPO 8 T2S1301

TEOREMA DE LOS GRANDES NUMEROS   

GRUPO Nº8

SECCION: T2S1301

En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de La ley de los grandes números se engloban varios teoremas que escriben el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos.

Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge.

Al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.

Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.

Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.

Ley débil:

La ley débil de los grandes números establece que si X₁, X₂, X₃, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes que tienen el mismo valor esperado  y varianza , entonces el promedio

converge en probabilidad a μ. En otras palabras, para cualquier número positivo ε se tiene

Ley fuerte:

La ley fuerte de los grandes números establece que si X₁, X₂, X₃, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que cumplen E(|X_i|) < ∞   y tienen el valor esperado μ, entonces

es decir, el promedio de las variables aleatorias converge a μ casi seguramente (en un conjunto de probabilidad 1).

Esta ley justifica la interpretación intuitiva de que el valor esperado de una variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo repetitivo".

                                                 INTERROGANTE
¿CUAL ES LA DIFERENCIA ENTRE LA LEY DEBIL Y LA LEY FUERTE?

 INTEGRANTES:

Libano Zaatar
Emidio Di Tomo
Rousberth Zerpa
Hernan Mata

TEOREMA LIMITE CENTRAL., GRUPO 7-T2

TEOREMA LIMITE CENTRAL

 

 

El teorema del límite central es posiblemente el concepto más importante de la estadística, su resultado se extiende a la estimación de los intervalos de confianza, contraste de hipótesis y el cálculo del tamaño de muestra, previo a la realización de un estudio.

De acuerdo con el teorema, si tomamos muestras grandes de una población, las medias de las muestras se distribuirían de manera Normal también denominada distribución Gaussiana, a pesar de que los datos originales no tuvieran distribución normal. Este teorema nos permitirá simplificar el cálculo del intervalo de confianza.

Para tener información precisa sobre la distribución de la población debemos tener muestras grandes.

En algunas aplicaciones podemos obtener muestras pequeñas, al elegirla la muestra, la media de ellas será el punto muestral mostrando una estimación de la media, al elegir otra muestra la estimación cambiara y así sucesivamente realizando un gran numero de muestras. La media de cada muestra es variable aleatoria, este recibe el nombre de estimador de la media, por ser variable aleatoria debe tener una distribución normal. Por lo que al considerar muestras grandes disminuye la variabilidad.

En muchas ocasiones no importa la distribución de los datos de una población, ya que el proceso de elegir una muestra aleatoria y calcular su media desemboca de forma inevitable en una distribución normal, esto es lo que afirma el teorema del límite central. Además de que la media de esta distribución es la misma que la de la población.

 El teorema hace hincapié en el error típico o estándar, ya que esta también depende del tamaño de la muestra, y por lo tanto nos permite conocer nuestro intervalo de confianza, mientras más grande sea la muestra de la población nuestro error será mínimo y nuestra confianza aumentara.

El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.

Ejemplo:

La variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal.

Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas.

Los parámetros de la distribución normal son:

Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes)

Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales)

 

 

 

Veamos un ejemplo:

Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25.

Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.

La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal.

Media = 100 * 0,5 = 50

Varianza = 100 * 0,25 = 25

Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente:

 

Z =  60 - 50 = 2,00

5

(*) 5 es la raiz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución


 

Por lo tanto:

P (X > 60) = P (Z > 2,0) = 1- P (Z < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%

 

 

 

 

EJERCICIO PROPUESTO.

En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del año tienes 100 clases de esa asignatura.
Salir a la pizarra es una variable independiente que sigue el modelo de distribución de Bernouilli:

"Salir a la pizarra", le damos el valor 1 y tiene una probabilidad del 0,10
"No salir a la pizarra", le damos el valor 0 y tiene una probabilidad del 0,9

La media y la varianza de cada variable independientes es:

m = 0,10

s 2 = 0,10 * 0,90 = 0,09

 

 

 ¿Cuál es la probabilidad de que en esas 100 clases, tengamos que salir a la pizarra

más de 15 veces?

INTERROGANTE.

• Según el teorema del limite central, ¿Con que fin, tomamos muestras grandes para su calculo?

 

 

GRUPO # 7

• OLEAGA, ELIDES.
• VALDERRAMA, GENESIS.
• AGUILERA, ROSSIBEL.

 

 

 

Distribución binomial Grupo 7 N3 estadística aplicada

Distribución Binomial

- Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria.

La distribución de probabilidades binomial es uno de los modelos matemáticos (expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones.

* La distribución binomial esta asociada a experimentos del siguiente tipo:

-Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o

fracaso.

- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasiones independiente de la obtención de éxito o

fracaso en las demás ocasiones.

- La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.

*Características:

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d)  El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

-Propiedades:

- La muestra se compone de un número fijo de observaciones n

-Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. 

Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir.

Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso.

- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones.

- La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n

*Ecuación: PX=n!X!n-X!·pX·1-pn-X

Donde:

PX=Probabilidad de X éxitos, dadas y

n = Número de observaciones

p = Probabilidad de éxitos

1-p = Probabilidad de fracasos

X = Número de éxitos en la muestra (= 0, 1, 2, 3, 4,………)

*Cálculo de probabilidades en una distribución binomial

- n es el número de pruebas.

-k es el número de éxitos.

- p es la probabilidad de éxito.

-q es la probabilidad de fracaso.

Pregunta:

- ¿Que función tiene la distribución binomial y cuando se aplica ? 

Integrantes:

- Andrys Pastrano 25.393.435

- Alejandro Zacarias 20.804.930

- Vanesa Yonis 22.832.726

Distribución muestral Grupo 6 Sección N3S1301

Estadística Aplicada Grupo N° 6 Sección N3S1301

Distribución Muestral

En estadística, la distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una población. Su estudio permite calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al parámetro de la población. Mediante la distribución muestral se puede estimar el error para un tamaño de muestra dado.

Una distribución muestral se construye empíricamente a partir de una población finita de tamaño N, se extraen al azar todas las muestras posibles (K) de igual tamaño n; se calcula el estadístico muestral de interés para cada muestra y se organizan y presentan los valores del estadístico muestral calculados en una tabla de distribución de probabilidad. 

Propiedades de la distribución muestral

Cuando el muestreo se extrae de una población distribuida normalmente, la distribución  muestral de la media muestral tiene las siguientes propiedades:

1. La distribución de la media es normal, independientemente del tamaño de la muestra.

2. La Media de la distribución de las medias es igual a la media de la población.

3. La varianza de la distribución de las medias es igual a la varianza de la población, Dividida entre n

Tipos de distribución muestral

·       

•             Distribución de la media
• ·         Distribución de la variancia
• ·         Distribución de la proporción
• ·         Distribución de la diferencia de medias
• ·         Distribución de la diferencia proporciones
• ·         Distribución del cociente de variancias

¿Por qué es importante el uso de la distribución muestral y cuál de los tipos de distribución muestral piensa que es el más utilizado?

Anaida Le Du 17.884.311

Marilyn Sanchez 18.247.903

Lady Delgado 16.615.744