Estimación

En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parametro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de la media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n.¹

La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio:

Estimación puntual

Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada.

Por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos. Lo más importante de un estimador, es que sea un estimador eficiente.  Es decir, que sea insesgado (ausencia de sesgos) y estable en el muestreo o eficiente (varianza mínima) Estimación puntual Sea X una variable poblacional con distribución Fθ , siendo θ desconocido.

Estimación por intervalos

Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos:

Intervalo de confianza:

El intervalo de confianza es una expresión del tipo [θ₁, θ₂] ó θ₁ ≤ θ ≤ θ₂, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con un determinado nivel de confianza. Pero a veces puede cambiar este intervalo cuando la muestra no garantiza un axioma o un equivalente circunstancial.

Variabilidad del parámetro:

Si no se conoce, puede obtenerse una aproximación en los datos aportados por la literatura científica o en un estudio piloto. También hay métodos para calcular el tamaño de la muestra que prescinde de este aspecto. Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ.

Error de la estimación:

Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, si se quiere mantener o disminuir el error, más ocurrencias deberán incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir nuevas observaciones para la muestra, más error se comete al aumentar la precisión. Se suele llamar E, según la fórmula E = (θ₂ - θ₁)/2.

Limite de confianza:

Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la población se sitúe en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota por (1-α), aunque habitualmente suele expresarse con un porcentaje ((1-α)·100%). Es habitual tomar como nivel de confianza un 95% o un 99%, que se corresponden con valores α de 0,05 y 0,01 respectivamente.

Valor (a):

También llamado nivel de significación. Es la probabilidad (en tanto por uno) de fallar en nuestra estimación, esto es, la diferencia entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-α). Por ejemplo, en una estimación con un nivel de confianza del 95%, el valor α es (100-95)/100 = 0,05

Valor critico:

Se representa por Z_α/2. Es el valor de la abscisa en una determinada distribución que deja a su derecha un área igual a α/2, siendo 1-α el nivel de confianza. Normalmente los valores críticos están tabulados o pueden calcularse en función de la distribución de la población. Por ejemplo, para una distribución normal, de media 0 y desviación típica 1, el valor crítico para α = 0,1 se calcularía del siguiente modo: se busca en la tabla de la distribución ese valor (o el más aproximado), bajo la columna "Área"; se observa que se corresponde con -1,28. Entonces Z_α/2 = 1,64. Si la media o desviación típica de la distribución normal no coinciden con las de la tabla, se puede realizar el cambio de variable t =(X-μ)/σ para su cálculo.

Con estas definiciones, si tras la extracción de una muestra se dice que "3 es una estimación de la media con un margen de error de 0,6 y un nivel de confianza del 99%", podemos interpretar que el verdadero valor de la media se encuentra entre 2,7 y 3,3, con una probabilidad del 99%. Los valores 2,7 y 3,3 se obtienen restando y sumando, respectivamente, la mitad del error, para obtener el intervalo de confianza según las definiciones dadas.

Para un tamaño fijo de la muestra, los conceptos de error y nivel de confianza van relacionados. Si admitimos un error mayor, esto es, aumentamos el tamaño del intervalo de confianza, tenemos también una mayor probabilidad de éxito en nuestra estimación, es decir, un mayor nivel de confianza.

Ejercicio :

Intervalo de confianza.

En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para estimar la temperatura media de sus

enfermos. La media de la muestra ha sido 37,1 ºC y se sabe que la desviación típica de toda la población es 1,04 ºC.

a)    Obtenga un intervalo de confianza, al 90 %, para la media poblacional.

a)

X = temperatura ; n = 64 ; X = 37,1 ; X → N(µ ; 1,04) , es decir σ = 1,04

a) Nivel de confianza = 1 – a = 0,9 ; a = 0,1; Intervalo de confianza I = ( X - E , x +E) , siendo E = Za/2 .

 Sabemos que φ(Za/2) = 1  =  a/2 = 0.1/2 = 0,95 usando la tabla de la distribución Z → N( = 0,1) , obtenemos Zα/2 = 1,645

 

     36,89 ; 37,31 E = 1,645  . 1,04/ 64 = 0,21385   ;    I = (37,1 – 0,21385; 37,1 + 0,21385); I =